フィボナッチ数列＆リュカ数列〜フィボナる・リュカる〜　|　【buy恩人ガリレオ流】−帝都大学への数学−

映画「ダヴィンチコード」で有名になったフィボナッチ数列
「フィボナッチ数列に見せかけたリュカ数列」という名台詞が
テレビ「探偵ガリレオ」で放映され一躍有名になったリュカ数列

実は、昔から大学入試問題にはよく出題されている数列です。
また、フィボナッチ数列は株式投資などの売買メドの指標としても利用されます。
そして、これらの数列と切っても切れない深い縁のある「黄金比」

不思議なことに「数列」が苦手な子は本当に多いようです。
ゲーム感覚・パズル感覚で楽しめ、最も味気があると思える数学
「数列」が楽しめるセンスが分かれば数学は征服できたも同然
私は自分自身の経験上、こう断言できます。

• ■更新情報
• 【受験buy恩人】適齢期認証サービスとしてご提供してまいりました
  お馴染みのガリレオ先生とそのご友人の「帝都大学へのビジョン」
• 2009年2月よりの独自販売では、多数の皆様にすでにご購入いただいて
  おりましたが、内容がますます充実し、2009年11月5日よりは、より広い
  場で一般公開販売されることになりました。
• 【受験buy恩人】では、引き続き同サービスは継続いたしておりますので、
  何卒ご安心くださいませ。
  ただし、「ジャンルは問わず」はそのままといたしましたが、
  マニュアルに購入額制限を設けさせていただきました。
  何卒ご理解の程よろしくお願い申し上げます。
• 「魔法のサポート」は付きませんが、ガリレオ先生への質問権は付いています。
• 約600ページの壮大なボリュームとして「勉強法」・「帝都大学への数学」・「数学脳への導火線」
  の3部構成で一式まとめられており、さらにバージョンアップ・追加がされていきます。
• 脳に記憶を定着させる「重ね塗り」のメカニズムを知れば、あなたの勉強は劇的に変わるでしょう！
• 「帝都大学へのビジョン」詳細は、下記の事務局ページよりご覧いただけます。

←「帝都大学へのビジョン」詳細ページ

■目次

• 第1章：いきなり漸化式
• 第2章：漸化式から一般項へ
• 第3章：漸化式から一般項を導くマジックのトリック
• 第4章：漸化式からフィボナッチ数列を捉える
• 第5章：黄金比
• 第6章：漸化式からリュカ数列を捉える

■関連資料

●資料001　式の展開・因数分解は数学センスの宝庫→
特に、xⁿ-yⁿに関するエビデンス

朝田龍太郎のワンポイントメッセージ

↓お気に入りに追加して頂ければアンケート結果の確認に便利です！↓

数列を考えるにあたって、いきなり【漸化式】というものを考えていくね。
「フィボナる」ご期待の一般の皆さんも、難しくはないから読んでみて。
全ては高校数学でカタがつきますからね・・。

漸化式というのは、数列の隣接するn項間の関係と初期値を式で表したもの。
「漸」という字は「逐次」とか「徐々に」という意味ね。
だから、「逐次化けの皮が剥がれていく式」・・・初期値が分かれば、次の値も分かり、
次の値が分かれば、さらにその次の値も分かるということ・・。

だから、この漸化式があれば、すべての項が順序良く決定していくわけね。
でも、第1234項目の値を教えてなんて問われたら、日が暮れてしまうかも・・！

でも、漸化式は一つの「数列」がどんなルールを持った数列なのかを
日本語に最も近い形で表現できるのね。

一番簡単なのは隣接する2項間の関係がある場合だね。
君たちが最初に習う等差数列や等比数列の定義だって、
実はこの漸化式を日本語に言い直して説明しているにすぎないわけだよ。

例えば、等差数列をみるよ。
隣り合う項の数が一定の数で増えていく（減っていく）数列という定義になるね。

これを数学らしく言い換えると
第（n+1）項は第n項より常にdだけ大きい（小さい）数列　と言うことができる。

これを式に表したら、こいつが漸化式になるだけの話さ。

すなわち、
・・・（1）

は、単に初項（第1項）が であるという初期値を与える式だ。
・
・
・

「帝都大学へのビジョン」事務局ページ→

・・・（4）　という漸化式から一般項を導くために
 
何故、 　という二次方程式を使ったのか？

そのトリックは、

与えられた漸化式を次のような式に持ち込みたい。
という切なる願いに、その答えはあったのね。
前項で「仮想の漸化式」と呼んだ式ね。

・・・（O）という式に持ち込みたい！

何故なら、（O）の形は
と置きかえれば、

式（O）は、ということになり、

とりもなおさず、等比数列の形に持ち込めることになるからだ。

では、比較するために式(O)をほぐして式(4)と同じ形にしてみよう。


が3でが2であれば一致することになる。

そのようなはどうすれば求まるのか？

もうお分かりかもしれないね。
二次方程式の「解と係数の関係」そのものであることを・・・。

二次方程式の解がそれにあたるね。

式(2)を片側に移項してしまった変形式



二次方程式の「解と係数の関係」を方程式の中で表現してしまった式

・
・
・

「帝都大学へのビジョン」事務局ページ→

ここからちょっと面白いことをやるね。
「式の展開と因数分解は数学センスの宝庫」を読んでもらった方には、
実に面白いかもしれない。

黄金比 はの解だったから、当然

・・・(a)

では・・・


・・・(b)

まだまだ・・・


・・・(c)

まだまだ・・・


・・・(d)

まだまだ・・・


・・・(e)

もういっちょう・・・


・・・(f)

さて、一堂に会してみようか。
 

黄金比τ　のn乗 は、全てτ　の一次式で表され
これらの係数は見事にフィボナッチ数列 {1,1,2,3,5,8,13,・・・・}
そのものになっている！！

黄金比τ　は無理数にもかかわらず、たとえ何乗しようと、
元の黄金比の整数倍プラス整数という形で簡単に表されることになる。
その整数倍の並びがフィボナッチ数列！
ブラボー！！
・
・
・

「帝都大学へのビジョン」事務局ページ→

【buy恩人ガリレオ流】−帝都大学への数学−で、数学センスを養って君も帝都大学へ！